首图图源p站@shiiorina
在这周看了如下：
-多重重点采样
国庆！芜湖
7天好爽！（但是做的事也少捏，我有罪，我有罪...
主要是看了对光源采样，MIS，NEE方法
PBRT:14.3 Direct Lighting
多重重要性采样与路径跟踪
维也纳大学(?)的一门课 爆赞，ppt无敌，还有个炫酷的实验，以后有空玩玩
Q120：PBRT-V3，“直接光照”积分器（14.3章节），别人对于PBRT的笔记
对于蒙特卡洛方法$$
F_{n}=\frac{1}{N}\sum\limits^{N}{i=1}\frac{f(X{i})}{p(X_{i})}
$$函数p的形状越接近函数f的形状，那么这个方法收敛的也就越快。
对于渲染方程，就成了这么一个形式
$$F=\frac{1}{N} \sum\limits^{N}{i=1} \frac{f{r}(w_i)L_{i}(w_i)cos\theta}{p(w_{i})}$$
此时，p(wi)和wi的方向可以选择是符合BRDF的形式（对BRDF采样），还是符合Li的形式（对光源采样）。
对于函数p的选择很有讲究，比如完美的镜面，对其结果产生大量贡献的方向就是光线反射的方向，在这时候对于光源采样可能产生的贡献接近于0，于是选择对BRDF采样的效果会好很多；而对于其他的材质，比如满反射，对于BRDF采样就相当于均匀采样了，那么这时候对于光源采样收敛的会更快。
但是，对于像微表面材质这种，带一点镜面反射，又带一点漫反射的表面，如果只对BRDF采样就会导致收敛过慢，如果又只对光源采样，那么镜面反射的部分就会失真。这种情况下就需要需要对两个函数都进行采样了。
最简单的，可能会想到把样本分成两部分计算蒙特卡洛，然后相加取平均，但很不幸，在这种情况下，方差是相加的（PBRT语）...
一个简单的实验，当对于镜面材质采样，而pdf选择了对光源采样，方向wi，那么$p(w_{i})\approx 0$，此时分母很小，则可能引入大方差
这时候就需要多重重要性采样了
MIS的思想就是当评估积分的时候对每个样本进行加权，用于降低被积函数和采样密度之间的不符导致的方差。
MIS的形式如下
$$
\frac{1}{n_{f}}\sum\limits_{i=1}^{n_{f}}\frac{f(X_{i})g(X_{i})w_{f}(X_{i})}{p_{f}}+\frac{1}{n_{g}}\sum\limits_{i=1}^{n_{g}}\frac{f(X_{i})g(X_{i})w_{g}(X_{i})}{p_{g}}
$$
其中，$n_f$是当pdf从$p_{f}$采样的样本数，同理$p_{g}$；$w_{i}$则是对每个样本的权重。
这个式子是无偏估计，至于为什么请看airguanz大佬的文章，个人感觉挺好理解的
主要思想：每次射线击中表面，就分别对光源采样，和对BRDF采样。
这种方法事实上是把间接光照当做了潜在的直接光照。简单来说光线弹来弹去，最后肯定会弹到光源上去的....所以间接光源为什么不能是一种潜在的直接光源呢，那我就假设每个点都是个会发光的光源，只是这个光是场景里的光源照上去赋予它的。那么就把自发光项Le替换成直接光照就行了。（民科理解
对于一个考虑了直接对光照采样的渲染方程，其形式应该为
$$L_o=\int_{\Omega}L_{i}f_{r}cos\theta dw_{i}+\int_ML_{d}f_{r}cos\theta dw_{i}$$
其中M为光源在半球上的立体角投影,Ld为直接光照。但是这里有个问题，那就是如果间接光照部分恰巧采样到了光源上，那么Lo就等于两次光源的能量之和，画面会变得更亮，这也肯定是错误的。
有种原始的解决方法：忽略物体的自发光。但这样会导致光源看起来很暗，因为在光线第一次与场景相交刚好打在了光源上的时候，光源的亮度被忽略了，那么直接光照不能采样，只能靠间接光照来获取能量。解决：在光线第一次进入场景时可以接受自发光，后续情况禁止。
这个翻译我也不知道叫啥，怎么读也不会....（逃
不过重要的是，这是一种w项的形式，其记为
$$w_{s}(x)=\frac{(n_{s}p_{s}(x))^\beta}{\sum\limits_{i}(n_{i}p_{i}(x))^\beta}$$
其中，ni是对pi采样的次数。
当beta=1的时候，称为Balance heuristic，可以把其第一项展开为
$$
\frac{f(X)g(X)w_{f}(X)}{p_{f}(X)}=\frac{f(X)g(X)n_f}{n_{f}p_{f}(X)+n_{g}p_{g}(X)}
$$
可以发现，当某一个pdf和被积分函数相符合的时候，就不会再出现分母太大的情况，避免引入大方差
Veach指出了当beta=2的时候其效果最好
把这个方法用于前面的NEE中，可以得到更好的渲染效果。